Soit θ l'exposant d'un groupe fini abélien G. Considérons alors la décomposition du théorème fondamental de l'arithmétique de l'exposant:
Où p
i désigne des nombres premiers et
αi des entiers strictement positifs.
- Il existe au moins un élément ai d'ordre p i α i .
Il existe au moins un élément
bi ayant un ordre multiple de
p i α i sinon ce facteur ne serait pas membre de la décomposition de θ en facteurs premiers. Il existe donc un entier
mi tel que
m i .p i α i soit l'ordre de
bi. Si
ai est égal à
{b i } m i , alors
ai est d'ordre
p i α i .
- Il existe un moins un élément g d'ordre l'exposant du groupe.
Tous les ordres des éléments
ai sont premiers entre eux par construction. Le
théorème chinois montre alors que le produit
g des
ai a pour ordre le produit des ordres des
ai. On en conclut que l'ordre de
g est l'exposant du groupe.